$$\frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} {(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \frac{d_1^2} {d_2^2}$$
$$\frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} {(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} = \frac{d_1^2} {d_3^2}$$

题主如果有学校的资源的话，用Matlab来解这个2元2次方程组，可以得到通解。（其实手算也可以，不过展开之后太长了，多年不碰这个，怕算错了）
但要注意，得到的2组解，有一组需要排除掉。（在有解的情况下）

另外通过阿氏圆定理，该题可转化为求两个圆的交点，也是2元2次方程组。
同样的，2个圆的若相交，交点有2个，需要排除掉一个。（在有解的情况下）

补充：求三个圆两两相交的交点
下面方程1、2、3即分别描述了3个圆，将其两两组合为方程组并求解，可得交点（最少0个交点，最多6个交点）
方程1：$$\frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} {(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \frac{d_1^2} {d_2^2}$$
方程2：$$\frac{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} {(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} = \frac{d_1^2} {d_3^2}$$
方程3：$$\frac{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} {(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} = \frac{d_2^2} {d_3^2}$$
$$\left\{\begin{array}\\方程1\\方程2\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}\\方程1\\方程3\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}\\方程2\\方程3\end{array}\right.$$

然后，关于结果的判断逻辑，比较复杂，这里先分类设想下，权当抛砖引玉，作为参考。
因为平面中的两个圆，有可能有2个交点、1个交点或0个交点，3种情况。
若交点数为6，且其中没有重合点，两两相交，近似点可能在较近的3点组成的三角形内。
若交点数为6，且其中3点重合，重合点为理想的解。
若交点数为5，有2个圆相切，另一个圆与这两个圆分别相交。近似点有可能在切点与另2点之间。
若交点数为4，有2个圆相交，另一个圆与这两个圆分别相切。近似点可能在2个切点与另一个较近交点组成的三角形内。
若交点数为4，还有一种可能是一个圆与另两个分别相交，且这另两个圆无交点。这情况有点复杂，近似点不明。
若交点数为3，那么3个圆两两相切。近似点可能在这3点组成的三角形内。
若交点数为3，另一种可能是两个圆相交，且另一个圆与其中一个相切。近似点不明。
若交点数为2，可能是2个交点，或者2个切点。近似点不明。
若交点数为1，一个切点，近似点不明。
若交点数为0，3个圆两两相离。近似点不明。
（不敢保证考虑全了，如有疏漏请大家提醒～～）

如果题主的问题只是偶尔求解，那么可以用软件绘出3个圆，比较好判断。
如果是需要用程序自动计算，那么逻辑比较复杂。需要全面考虑各种情况，好好设计一下。

--再次补充--

今天正好看到一些关于超定方程组的知识，发现适用于题主的问题。

超定方程组是指方程个数大于未知量个数的方程组。

超定方程一般是不存在解的矛盾方程。

例如，如果给定的三点不在一条直线上， 我们将无法得到这样一条直线，使得这条直线同时经过给定这三个点。 也就是说给定的条件（限制）过于严格， 导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说，就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下，求一个最接近的解。

上面所列的方程1、2和3，包含2个未知数，即是超定方程组。
不过，最小二乘法是求解线性超定方程组的，题主这里是非线性超定方程组。
试试搜索页里的方法，有很多Matlab解法搜索非线性超定方程组的结果

这就是一个解方程问题 根据已知条件列方程组 把x和y用已知条件表示出来 得出来的就是所要的公式了

二维平面上判断点是否在三角形内

关于求 M 点到个点的比例，那就是求到每一个点距离就行了。

二元二次方程解呗

引理

设 $A$, $B$ 为平面上两点，$\lambda > 0, \lambda \neq 1$，满足 $\frac{|AP|}{|BP|}=\lambda$ 的 $P$ 点的轨迹为一个圆（阿波罗尼斯圆）；当 $\lambda = 1$ 时，该轨迹退化为一条直线，即 $AB$ 的中垂线。未退化时，该圆以 $CD$ 为直径，其中 $C,D$ 位于直线 $AB$ 上，且满足 $C$ 在线段 $AB$ 上，$D$ 在线段 $AB$ 外，$\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|BD|}=\lambda$。

根据此引理，你先选 $P_1$, $P_2$，得到一条轨迹 $\Gamma_1$；再选择 $P_2$, $P_3$，得到第二条轨迹 $\Gamma_2$。若 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 有交点，交点即为所求。

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