[] = 1和[] = '1'之间的区别，Ls已经说的很清楚了。
我就补充一句：当赋值运算符的左值是对象字面量或者数组字面量的时候，解释器就会进行解构赋值。

对于[0][0] = '1'和[0][0]，我以前对这篇文章写过另外一个回答，和你这个本质上是一回事儿：
js类型转换问题

[0]是一个带有0成员的数组，[0][0]是取它的第1个成员，所以必是0。

用了[0][0] = '1'虽然改了第1成员的值，但下一个[0][0]是独立的取成员值的表达式，所以得到0数字值。

[] = 1是右值不是iterable(可迭代的)造成的错误，这应该是"解构赋值"造成的错误，以不同的浏览器调试:

// Chrome
TypeError: undefined is not a function

// Firefox
TypeError: 1 is not iterable

// Safari
TypeError: [] is not a function. (In '[]', '[]' is undefined)

数组解构赋值的话，右值必需是iterable(可迭代的)，下面的例子的错误与[] = 1是一样错误，所以应该会先检查右值是否为iterable时，先抛出类型错误:

[] = {};
[] = undefined; 
[] = null; 

最后的，[] = '1'不会有错误，是因为字符串是属于iterable(可迭代的)。

解构赋值可以参考这篇文章。