apply你要说是用来冒充对象的，似乎也有那么点儿形象。
这个方法的初衷是这样的：比如数组实例的原型对象中有push方法，但对象实例并没有，那我也想用，怎么办呢？

let obj = {};
[].push.apply(obj, ["a", "b", "c"]);
console.log(obj);
// 0:"a", 1:"b", 2:"c"

这样实际上为对象使用了push方法，但在你的问题中，values本身是一个数组，它的原型对象中本身就有push方法，它为什么还要这么写呢？这是因为他想利用apply方法的参数特性。push方法接受的单个值（或者说对象）而apply方法的第二个参数是一个数组。所以对于想将一个数组push到另一个数组中时，可以：

var arr1 = [1, 2, 3];
var arr2 = [4, 5, 6];
[].push.apply(arr1, arr2);
console.log(arr1);
// [1, 2, 3, 4, 5, 6]
// 当然它有更简单的写法： console.log(arr1.concat(arr2));

在你的例子中：

function specialArray(){
    var values = new Array();
    values.push.apply(values,arguments);
    // values.push 只是为了取到push方法，然后借用它，所以这里push前面的数组是谁并不重要；
    // 只要它包含push方法即可，但为了不在程序中声明过多的变量，所以这里直接使用了已经存在的数组values;
    // arguments 是函数参数的集合，是一个数组，在这里作为apply方法的第二参数正合适。
    values.toPipedString = function(){
        return this.join('|');
    }
    return values;
};

var color = new specialArray('blue','red','yellow')
alert(color.toPipedString())

首先你对apply的理解是有误的，多看下文档。
values.push.apply(values,arguments);
相当于

for(let i = 0 ; i < arguments.length ; i++){
    values.push(arguments[i])
}

更加简洁